Poincarého domněnka: jeho minulost, současnost a budoucnost


Original: http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/ldt/poincare.html

Tam byla skvělá dohoda výzkumu kolem Poincaré dohad, protože jsem poprvé psal tuto stránku před mnoha lety. Nejvíce nedávno, Gríšo Perelman oznámil doklad o tom, ve skutečnosti, on oznámil doklad o mnohem zametání Geometrization domněnky. Doufám, že na vyčištění těchto stránek jeden z těchto dnů, který sice nikdy byli velmi dobře napsaný, zůstaňte naladěni na další vývoj!

Topologie je matematická studie “tvar”. Populární termín je “guma listů geometrie”, je studium vlastností objektu, který se nemění za stálého deformací (jako je protahování a ohýbání (ale ne trhání)). Nejzákladnější problém v topologii je určit, kdy dva topologické prostory jsou stejné, to znamená, že mohou být identifikovány s navzájem v kontinuálním způsobem. Poincarého domněnka je v podstatě první hypotéza kdy v topologii, se uvádí, že 3-rozměrný různý je stejný jako 3-rozměrné koule právě tehdy, když určité algebraické podmínka je splněna. Hypotéza byla formulována Poincaré na přelomu 20. století. Řešení, pozitivní nebo negativní, stojí US 1000000 dolar, protože to je jeden z problémů tisíciletí Prize vedeném Clay Matematického ústavu.

Historie topologie se datuje přinejmenším do poloviny 18. století. Jeden z jeho prvních velkých vzedmutí přišlo na konci 19. století, kdy Poincaré se snažil pochopit sadu řešení na obecné algebraické rovnice f (x, y, z) = 0, kde x, y, z jsou komplexní čísla . Abychom pochopili sadu řešení, se nejprve pokusil analytický přístup, ale on skončil přijetí přístupu přiřazovat algebraických (= číselné) invarianty se (postupně obecnější) geometrické objekty, jako způsob, jak (že jste zapomněli své původní motivaci! ) klasifikaci těchto geometrických objektů. Tento přístup lze považovat za začátek toho, co dnes nazýváme algebraickou topologii.

Poincaré byl opravdu nadšený této věci, si myslel, že našel lék na nachlazení nebo něco, si myslel, že tyhle věci by to opravdu skvělou práci charakteristických míst. Docela brzy, podél těchto linek, on dělal (k našemu současnému chápání spíše tučně) dohad, že 3-dimenzionální sféra by mohly být detekovány homologie:

Je-li M 3-potrubí (= prostor tak, že každý bod má otevřené sousedství homeomorfní 3-rozměrný Euclidean prostor), který má stejné homology skupiny, jako jsou 3-koule S3, pak M je homeomorphic S3.

Ve skutečnosti, on šel tak daleko, že tvrdí, že má důkaz, i když marže byla příliš malá, aby obsahovaly to (ne, počkej, to je jiná věta …). To by bylo opravdu skvělé věta, bohužel, je to pravda. Poincaré se objevil první protipříklad, prostor, který je nyní známý jako Poincaré koule homologie. V rámci tohoto procesu se v podstatě vymyslel základní skupinu prostoru. Vzhledem k tomu, že to, co minul, 3-koule má nejen triviální (první a druhý) homology skupiny, ale má také triviální základní skupinu. To znamená, že každý satelitní kruhu do S3 může být prodloužena na mapě o 2-disku do S3. A můžete (s nějakou práci) postavit 3-potrubí se stejnými homology skupiny jako S ^ 3, ale netriviální (konečný) základní skupiny, která Poincaré dělal. Je to úžasné málo však na to, že Poincare homologie koule je jediný známý jako příklad (a je se domníval, že je jen jeden!). Pokud jste ochotni mít potrubí s homologie na 3-koule, ale nekonečné základní skupiny, budování takového prostoru je docela straighforward pomocí Dehn operaci uzlů, říká se jim číslo homology 3-koule.

Je to jeden z těch nepříliš známých skutečností, že základní skupina p1 (X) slouží k označme p (x), (předtím, než jsme se naučili počtu nich), a byl nazýván jednoduše skupinu mezerou. Víte, proč používáme p naznačovat, že? To je pravda, je to zkratka pro Poincaré.

No, nalezení tohoto protipříklad tak rychle, zřejmě odradit Poincaré trochu, protože další věc, zeptal se `OK, dobře, můžete najít 3-potrubí s triviální základní skupiny a stejné homology skupiny jako 3-koule, která není ni t 3-koule? “. Tato otázka se ukázala být mnohem těžší je odpovědět. Ve skutečnosti k tomuto dni [5/03: Perelman se tvrdí, že má důkaz. Čekáme na názory odborníků …] my stále nevíme, co je odpověď, i když téměř všichni si myslí, že odpověď na svou otázku je `Ne ‘. (Tip dohad činitelům: vždy formulovat Váš dotaz, takže odpověď můžete očekávat je `Ano ‘To dělá zvuk chytřejší.). Dohad, že odpověď na otázku Poincaré je` Ne’, který přišel být známý jako Poincaré dohad:

PC: Je-li M 3-potrubí s triviální základní skupiny, a H_i (M) = 0 pro i = 1,2 a = Z pro i = 0,3 (tj. M má homology skupiny 3-koule) , pak M je homeomorphic na 3-koule.

Jinými slovy, některé základní algebraické invarianty rozlišit 3-koule od všech ostatních 3-variet.

***

To se ukázalo být trochu těžší udělat, ve skutečnosti my ne (jak tohoto psaní, tak jako tak) ví, jak na to. Ale to není pro nedostatek se! Ve skutečnosti je celá AMS předmětem klasifikační číslo (57M40) věnována prací, které se snaží dokázat či vyvrátit Poincaré dohad. Mnohé důkazy dělal to do literatury, v posledních letech stále více některé se dostaly do oka veřejnosti v podobě tiskových zpráv v New York Times! Skutečnost, že nemůžeme dokázat první domněnku někdy dělal v našem oboru je stálým zdrojem pobavení / obavy / frustrace / rozpaky (v závislosti na úhlu pohledu).

Otázka Opravdu chci řešit je zde, `Jak se tato domněnka (a její nedostatek důkazu) ovlivnil průběh topologie, zejména geometrické topologie (na které se nejvíce správně patří)?”. Jinými slovy, to, co děláte s dohad, že nevědí, jak dokázat? Zatím jsem se přijít s šest odpovědí na tuto otázku, které se chci zaměřit na oplátku. Můžete:

(1) Zkuste to dokázat.

(2) Zkuste vyvrátit.

(3) zobecňovat.

(4) Dokažte, že jiné věci, které nevědí, jak dokázat to také vyplývá.

(5) Dokažte, že to znamená věci, které opravdu nevím, jsou pravdivé.

(6) ignorovat.

Prokázání Poincaré dohad

To je, samozřejmě, ta nejpřirozenější věc udělat dohad, že si myslíte, že je to pravda. Je to také něco, co můžete ztratit hodně času u konce! S Poincaré dohad zejména se zdá, že tato nemoc nazývá Poincaritis, že někteří lidé chytit – když tak učiní, se i nadále snažit dokázat Poincaré dohad pro asi 20 roků rovný. Tam byly hodně známých topologů, kteří tuto nemoc chytil (a jsem si jistý, docela hodně neznámých ty, jediný rozdíl je, že to chytil, než se dostali definitivu), jako RHBing, John Stallings, John Hempel a CD Papakyriakopoulos. Hempel věnuje celou kapitolu své knihy o 3-rozvody k tomuto tématu. Tam, ve skutečnosti bylo hodně špatnou (rozuměj: false) důkazy, které se objevily v průběhu let, což já osobně tendenci si myslet, jako dobrou věc: (false) důkaz, že bylo dost dobré pro někoho, kdo (av některých případech , téměř každý), věřit, že to bude obvykle odhalit velmi subtilní bod – díra v našem chápání našeho vlastního předmětu -, které mohou vést k velmi krásných matematiky. K dispozici je také obvyklý argument, že ve snaze dokázat, pevný větu téměř jistě jste nuceni vybudovat velmi silné stroje, které mohou pomoci, ale být užitečné při útoku na problémy v jiných částech objektu. Osobně si nemyslím, že to opravdu platí Poincaré dohad, ale to je jen já, má triviální základní skupina je docela velká omezení! I když všechno, co budete stavět do okamžiku uložení tohoto omezení budou samozřejmě být užitečné v jiných kontextech. Na druhou stranu jste měli lepší nezapomeňte uložit, že omezení * někdy *!. Tam je slavný / neslavný příběh, myslím, že Steve Smale je hlavní postava, studenta grad, který chodí do profesora kanceláře a říká: “Myslím, že mohu dokázat Poincaré dohad, co si myslíte o tomto důkazu? Začněte s triangulace vaše potrubí a vyjměte vnitřek jedné z nejlepších rozměrových 3-simplexů. co musím ukázat, že to, co zbylo, je koule, ne? Takže vybrat jednu z vystavených 2-rozměrné plochy s 3-simplex na druhé straně, a zhroucení, že 3-simplex z obličeje jsem v na další 3 strany. Tato deformace dává homeomrphism na něco, co se méně 3-simplexů. Continuiung indukcí, I dostat se k jednomu 3-simplex, což je jistě 3-ball. Takže předtím, než jsem začal tohle všechno jsem měl 3-ball, že jo? ” Student poté, co dokončili důkaz, čeká na profesora vyjádřit, ale profesor Justs sedí a nic neříká. Nakonec, student, zmatený, opouští kancelář. O něco později, když si uvědomí, že on nikdy používal * hypotézu * o Poincaré dohad, on měl “dokázal”, že * každý * 3-rozdělovač byl homeomorphic na 3-koule …

Ale dostat se zpátky do mého pohledu, pojďme se podívat na příklad. V brzy 1930, J.H.C. Whitehead vydával důkaz Poincarého domněnky. Jeho argument šel takto. Vezměte si jednoduše připojený 3-M potrubí a odstranit bod, aby non-kompaktní potrubí X. Nyní, když jste to, co si myslíte, že M je to 3-koule, měli byste dostat r ^ 3. Obecně lze říci, asi jediná věc, kterou můžete okamžitě říci, je, že X je contractible, to může být trvale deformovány v sobě do určité míry. Co Whitehead ukázal, bylo, že každý contractible 3-různý je homeomorfní R ^ 3. Proto počínaje M a jít do X, dostanete r ^ 3, uvedení bod zpět činí brát jeden bod kompaktifikace z X (tj. R ^ 3), což je 3-koule!

Jediný problém je, že se mýlil. Naštěstí se ukázal jako chybný, a publikoval protipříklad jeho výše uvedené tvrzení o rok později, v podobě příkladu smršťovací 3-potrubí, které nebylo homeomorphic na R ^ 3. To je nyní nazýváno potrubí Whitehead. [Následující popis byla zrušena od roku 1995 e-mail na Greg Kuperberg let.] Stručně řečeno, nechaný V být rozvázal pevné torus na S ^ 3 let h: V -> V je zakotvení V. V tak, že h (V) vázané ve V, ale rozvázal na S ^ 3, a nechť X = průsečík všech h ^ i (V). (Je třeba vědět, že meridián V je nulový homotopická v S ^ 3 -. H (V), stejně), pak W = S ^ 3 – X je contractible, a navíc W x R je homeomorfní R ^ 4 , ale W není homeomorphic k R ^ 3.

Tak proč je to dobře? No, contractible otevřený 3-variety nebyly nikdy předtím nenapadlo, tady to bylo nový objekt ke studiu a lidé šli ven hledat pro ně a našel spoustu z nich. McMillan ukázal, že se ve skutečnosti nespočetné množství vzájemně se homeomorphic ty. Tento dostali lidé pracující na jiné domněnky, že pouze contractible 3-potrubí, který pokrývá kompaktní 3-potrubí je Euclidean 3-space, opravdu nadšený, protože tam jsou jen spočetně mnoho kompaktní 3-rozdělovače, tak mohutnost vám řekne, že drtivá Většina těchto kluků nepokrývá mezery. Ale trvalo dalších několik let, než někdo dokázal, že jakákoliv specifická jedna se netýkala – to se ukázalo být Whithead je příklad!

Je tu další skvělá věc, která přišla z toho, ale nemohu říct, o tom právě teď. Počkejte trochu (nebo přejít na zde).

Vyvracet Poincaré dohad

Nejsem si jistý, co mohu říci o tom, `všichni” domnívá se, že je to vlastně pravda. Vzpomínám si, kdysi slyšel, že RH Bing postoj vůči Poincarého domněnky bylo to, že by vždy strávit dva týdny se snaží dokázat, pak dva týdny snaží vytvořit protipříklad, a opakujte postup znovu. Myšlenka najít counterexeample je snadné, můžete získat 3-potrubí, jehož fundmental skupinu můžete vypočítat je triviální (homology skupiny pak vlastně zadarmo), a pak se snaží ukázat, že jste měli to štěstí postavit něco, že ano ” t 3-koule. Tato poslední část byla ta část, která nikdo nemůže nikdy přijít, většinou svého času strávil se snaží najít invarianty, které měly šanci odlišení Homotopie 3-koule (jak se říká) z 3-koule. Tam byla nějaká naděje na chvíli, že Casson neměnný by to udělat, ale to se ukázalo být něco počítačově ze základní skupiny, pokud si dobře vzpomínám. Ve skutečnosti je nyní algoritmus, díky Hyamem Rubinstein, který kdy dostal 3-potrubí bude rozhodovat v konečném čase, zda je či není 3-koule, ale já nevím, jestli někdo se snaží začít krmit známo seznamy homotopických 3-sfér dosud.

Zevšeobecňovat Poincaré dohad

Myšlenka je, že pokud your’re bude v rozpacích nad tím, že možnost prokázat domněnku, budete méně v rozpacích, pokud si myslíte, že o sobě jako začít schopni dokázat něco víc * * než váš dohad, instaead. Koneckonců, je to těžší! S rozvojem algebraické topologie, se terminologie a techniky vynalezl dát Poincaré dohad v obecnějším kontextu. 3-potrubí s triviální základní jednotka je homotopy odpovídá 3-koule (odtud název “homotopy 3-koule”), a tak Poincare domněnka, lze charakterizovat jako tvrzení, že každé 3-rozdělovač homotopy odpovídá 3 – koule je homeomorphic na 3-koule. Dá se zobecnit Poincaré dohad tím, že omezení se na tři rozměry, ale místo toho se snaží odpovědět na otázku, ve všech směrech. Zobecněný uvádí Poincaré Conjecture že pro každé n, n-rozměrný různý homotopy ekvivalentní n-koule je homeomorphic na n-koule. Konkrétní příklad tohoto dohadu, např. n = 5, by se nazývá n-rozměrný Poincaré dohad.

Pole je trochu složitější, zde, ačkoli, protože ve vysokých dimenzích tam opravdu jsou * tři * různé druhy potrubí, s třemi různými představami o bytí “stejný”. K dispozici jsou běžné topologické variety, kde “stejný” znamená homeomorphic, ale tam je podmnožina z nich, kteří přijímají hladkou strukturu (pro které je pojem diferencovatelné funkce smysl), a vlastní pojem “stejný” je pro ně více omezující pojem difeomorfismus (= diferencovatelná funkce se diferencovatelné inverzní). K dispozici jsou také po částech lineární, (= PL) potrubí, které téměř úplně, ale ne znamená, že mohou být vyjádřeny jako spojení n-simplexů, a pro ně máme více omezující pojem PL-homeomorphism (= lokálně lineární, druh). Takže tam jsou opravdu * tři * Poincarého domněnky:

Topologie n-rozdělovač homotopy ekvivalentní k n-koule je homeomorphic na n-koule.

Hladký n-rozdělovač homotopy odpovídající N-koule je diffeomorphic na n-koule.

PL n-rozdělovač homotopy ekvivalentní k n-koule je PL-homeomorphic na n-koule.

Pro 3-potrubí, tyto rozdíly ve skutečnosti neexistují, každý 3-rozdělovač má jedinečnou a unikátní hladký PL strukturu. (Poincarého to nevěděl, ale každý v počátcích prostě předpokládá, že každý potrubí oni pracovali, byla svaz simplexů.). Ale začínat v rozměru 4 topologické a hladké = PL teorie jsou různé, existují 4-potrubí, které nemají hladké struktury. A začíná v rozměru 7 (myslím?) Hladké a PL teorie jsou různé.

Prokázání věci znamenat Poincaré dohad

Prokázání věci vyplývají z Poincaré dohad

Ignorování Poincaré dohad

No, to asi to, co každý, kdo není ve skutečnosti pracovat ve 3-manifold topologie může docela šťastně dělat! Ale můj názor je, že člověk opravdu může vesele pracovat ve 3-potrubí topologii, a to i takové důležité a základní domněnky stále nevyřešena. Jeden může snadno argumentovat, že Fermatova věta (její řešení, že je), bude opravdu mít velký vliv na budoucnost teorie čísel (její důkaz, možná, ale …), ale pochybuji, že to bude případ Poincaré dohad. Právě naopak, opravdu – jeho důkaz je pravděpodobné, že bude vysoce specializované a techniky jsou pravděpodobně nebude mít velký vliv na další problémy, ale příkaz sedí v srdci toho, co 3-rozdělovač Topologové vidí jako jejich poslání: k pochopení co 3-variety vypadat. [OK, by toto tvrzení bylo trochu moc. Jistě by se dalo tvrdit, že Perelman současný důkaz má málo opravdu říci přímo do 3-potrubí topologist? Ale to * hodně * říci analytika! A techniky jsou jisti, že najít široké uplatnění na jiné problémy.] Tak jak se vypořádat s tím, že je to do očí bijící díry v našem chápání toho, co 3-rozvody vypadat? V podstatě můžete přesně zjistit, jak velký otvor, a starosti, v současné době se zjišťuje, co po zbytek svého 3-potrubí vypadá.

To si zaslouží vysvětlení. Jde o to, je možné přepočítat a Poincaré dohad, jak říká, že jediný contractible, kompaktní 3-potrubí (který musí být automaticky pro homologických důvodů mají hranici 2-koule) se 3 míči. Jakékoli protipříklad k této domněnce se nazývá homotopy 3-ball (to vede k poněkud matoucí, že 3-koule není homotopy 3-ball! (Nebo alespoň, že to, co * I * pochopit terminologii znamená .)). Nyní je standardní konstrukce v 3-manifold topologii nazývá připojen součet rozkladu, “#”, který snižuje vaše 3-potrubí až po 2-koule do ireducibilní části (= ty, pro které jsou veškeré dalšího bourání jen vyřezat off (proražená ) 3-ball). Milnor ukázal, že (non-3-ball) kusy jsou jedinečné k změně pořadí. Pokud budeme sbírat všechny homotopických 3 kulové kousky dohromady (pokud něco takového existuje), které dohromady tvoří jeden Homotopie 3-ball. Pak můžeme vyjádřit všechny 3-různý M jako M = (homotopy 3-koule) u N, kde N neobsahuje Homotopie 3-ball. Jinými slovy, N obsahovat counterexample na Poincaré dohad. * Jinými slovy *, pokud se spokojíme se ukazuje výsledky o * N *, místo M, můžeme jít o naší práci jedná, jako by Poincaré dohad je * pravda *. N se nazývá Poincarého spolupracovník N = P (M) M, z hlediska algebraické topologie, nelze rozlišovat mezi P (M) a M. Z tohoto způsobu prohlížení věcí, to vše Poincarého domněnka říká, že nelze rozlišovat mezi P (M) a M vůbec, protože jsou ve skutečnosti * stejné *.